Cómo resolver integrales paso a paso

Paso 1: identifica el tipo de función

Antes de aplicar cualquier fórmula, mira la estructura de tu función. Esto te dice qué técnica probar primero:

• ¿Es una suma o resta de términos? Integra cada término por separado (regla de la suma).
• ¿Es una potencia de x, sola o con coeficiente? Usa la regla de la potencia.
• ¿Es una función trigonométrica, exponencial o logarítmica simple? Usa la antiderivada conocida de esa función.
• ¿Es el producto de dos funciones distintas (por ejemplo, x·sin(x) o x·eˣ)? Prueba integración por partes.
• ¿Es una función compuesta (una función dentro de otra, como sin(x²)·2x)? Prueba sustitución.

Regla de la potencia: el caso más común

La regla de la potencia es la primera que se aprende y la que más se usa: para integrar xⁿ (con n distinto de -1), sumas 1 al exponente y divides entre el nuevo exponente.

∫xⁿ dx = x^(n+1) / (n+1) + C

Ejemplo: ∫x⁴ dx = x⁵/5 + C. Comprobación: la derivada de x⁵/5 es (5·x⁴)/5 = x⁴, que es la función original.

Cuando la función es una suma de potencias, como x³ + 2x² - 5, se aplica la regla término a término: ∫(x³ + 2x² - 5) dx = x⁴/4 + 2x³/3 - 5x + C.

El caso especial n = -1 (es decir, 1/x) no sigue esta fórmula, porque dividir entre 0 no está definido. Su antiderivada es el logaritmo natural: ∫(1/x) dx = ln|x| + C.

Antiderivadas de funciones conocidas

Muchas funciones tienen una antiderivada directa que conviene memorizar, sin necesidad de derivar ninguna regla adicional:

• ∫sin(x) dx = -cos(x) + C
• ∫cos(x) dx = sin(x) + C
• ∫sec²(x) dx = tan(x) + C
• ∫eˣ dx = eˣ + C
• ∫aˣ dx = aˣ / ln(a) + C (para una base a distinta de e)
• ∫(1/x) dx = ln|x| + C
• ∫(1/(1+x²)) dx = arctan(x) + C
• ∫(1/√(1-x²)) dx = arcsin(x) + C

Sustitución: cuando hay una función compuesta

La sustitución (también llamada cambio de variable) funciona cuando identificas una función "interior" cuya derivada también aparece, multiplicada, en la integral.

Ejemplo: ∫2x·cos(x²) dx. Aquí, x² es la función interior y su derivada es 2x, que es exactamente el otro factor que aparece en la integral. Sustituyes u = x², por lo que du = 2x dx, y la integral se convierte en ∫cos(u) du = sin(u) + C. Deshaciendo la sustitución: sin(x²) + C.

La señal para probar sustitución es precisamente esa: dos partes de la función, donde una es la derivada (o un múltiplo constante de la derivada) de la otra.

Integración por partes: cuando hay un producto de dos funciones distintas

Cuando la función es un producto de dos funciones de tipo distinto (un polinomio por una exponencial, un polinomio por una trigonométrica, o un logaritmo) y la sustitución no funciona, se usa integración por partes:

∫u dv = uv - ∫v du

La parte más importante es elegir bien qué parte del producto es "u" y cuál es "dv". Una regla práctica habitual es el orden LIPET (Logarítmica, Inversa trigonométrica, Polinómica, Exponencial, Trigonométrica): la función que aparece primero en esa lista suele ser la mejor opción para u.

Ejemplo: ∫x·eˣ dx. Aquí x es polinómica y eˣ es exponencial, así que (según LIPET) u = x y dv = eˣ dx. Entonces du = dx y v = eˣ. Sustituyendo en la fórmula: ∫x·eˣ dx = x·eˣ - ∫eˣ dx = x·eˣ - eˣ + C.

Puedes verificar este resultado directamente en la calculadora de integrales: escribe x*e^x y comprueba que el resultado exacto coincide.

Cómo verificar tu resultado (el paso que casi nadie hace)

Después de calcular una antiderivada F(x), siempre puedes comprobar si es correcta con un solo paso: deriva F(x). Si F'(x) es igual a la función original f(x), tu resultado es correcto.

Ejemplo de verificación: si calculaste ∫x·eˣ dx = x·eˣ - eˣ + C, deriva ese resultado usando la regla del producto: d/dx[x·eˣ] = eˣ + x·eˣ, y d/dx[-eˣ] = -eˣ. Sumando: eˣ + x·eˣ - eˣ = x·eˣ, que es exactamente la función con la que empezaste.

Este es exactamente el paso que nuestra calculadora de integrales hace de forma automática en cada resultado: deriva la respuesta calculada y la compara numéricamente con tu función original, mostrando una marca de verificación cuando coinciden.

Integrales definidas: un paso adicional

Si necesitas una integral definida (con límites concretos a y b), el proceso es el mismo que para la indefinida, con un paso final: una vez que tienes la antiderivada F(x), aplicas el Teorema Fundamental del Cálculo evaluando F(b) - F(a). La constante C desaparece en este paso, porque se cancela al restar.

Consulta nuestra guía integrales definidas e indefinidas para ver ejemplos completos de este último paso y entender su interpretación geométrica como área bajo la curva.

Errores frecuentes al resolver integrales a mano

Los errores más comunes al resolver integrales no suelen ser de cálculo aritmético, sino de elección de técnica o de un paso olvidado:

• Olvidar la constante +C en una integral indefinida (una respuesta sin C está incompleta, aunque la parte variable sea correcta).
• Intentar aplicar la regla de la potencia directamente a un producto de dos funciones, en vez de usar integración por partes o sustitución.
• Elegir mal u y dv en integración por partes, lo que hace que la nueva integral (∫v du) sea más difícil que la original en vez de más fácil.
• En una sustitución, olvidar deshacer el cambio de variable al final y dejar la respuesta en términos de u en vez de x.
• En una integral definida, restar los límites en el orden incorrecto (F(a) - F(b) en vez de F(b) - F(a)), lo que invierte el signo del resultado.

Practica con la calculadora

La forma más rápida de aprender a identificar qué técnica usar es practicar con muchos ejemplos y verificar tu trabajo. Escribe tu propia función en nuestra calculadora de integrales, compárala con tu solución manual y revisa la etiqueta del método aplicado que aparece junto al resultado para confirmar qué técnica correspondía. Todo el cálculo ocurre en tu propio navegador, sin enviar tu función a ningún servidor; puedes leer el detalle en nuestra política de privacidad.